Фазовое пространство это пространство координат и импульсов. Для системы с одной степенью свободы фазовое пространство представляет собой двуменрую плоскость. обычно вдоль оси X направлены координаты, а вдоль оси Y импульсы. Для системы с двумя степенями свободы фазовое пространство 4-мерное. При этом две оси соответствуют двум независимым координатам, а другие две оси двум независимым импульсам.
Мы сейчас построим фазовую траекторию валютной пары евро к доллару (EUR/USD). В качестве координаты мы возьмем среднее значение цены открытия и цены закрытия.
Импульс это произведение массы на скорость. Вопрос о том, что такое масса, мы обсудим чуть позже. Пока будем считать, массу одинаковой на всем временном интервале построения фазовой траектории. Это значит, что для построения фазовой траектории вместо импульсов мы можем использовать скорости.
Скорость это расстояние деленное на время. Валютная пара проходит рассояние от цены открытия до цены закрытия на каком-нибудь интервале. Значит средняя скорость на этом интервале это разница между ценой закрытия и ценой открытия деленной на длину интервала. Длину интервала для простоты можно считать единичной.
Таким образом, чтобы построить траекторию валюты в фазовом пространстве, надо по горизонтальной оси откладывать среднее значение тела свечи, а по вертикальной оси откладывать длину свечи.
Для построения графиков нами использовались исторические данные в текстовом формате MetaStocks, полученные программой IDLoder, которую можно бесплатно скачать на сайте Форекс-Клуба. Эти данные мы заводили в программу MS Excel и уже там строили графики.
На первом графике показана фазовая траектория валютной пары EUR/USD построенной по месячным данным за 11 лет с 2000 по 2010 включительно. Всего взято 132 точки (11 лет Х 12 месяцев). Вращение фазовой точки состояния идет по часовой стрелке, то есть, когда скорость положительная, тогда координата растет. И, наоборот, когда скорость отрицательная, координата убывает.
Первое, что бросается в глаза, глядя на этот график, это самопересечения. Из теории динамических систем следует, что наличие самопересечений фазовой кривой говорит о том, что мы имеем дело с открытой системой, на которую действуют внешние силы. В самом деле, если считать, что точка пересечения это стартовая точка, то в замкнутой системе начальные коотдинаты и скорость однозначно определяют все дальнейшее поведение такой системы. Поэтому в замкнутой системе самопересечений фазовой траектории не бывает. В открытой системе на которую действует внешняя изменяющаяся со временем сила, самопересечения возможны, так как поведение системы с одними и теми же начальными координатами и скоростями определяется еще и направлением и величиной внешней силы. Поэтому для такой системы из одной не особой точки фазового пространства может выходить несколько фазовых траекторий в разных направлениях.
Часто такие динамические системы с одной степенью свободы называют системами с полтора степенями свободы. Имеется в виду, что если перпендикулярно фазовой плоскости направить третью ось, ось времени, то в трехмерном пространстве самопересечения фазовой траектории исчезнут.
Можно показать, что на валютной бирже происходят колебания валюты всех трех основных типов, известных в динамике: свободные колебания, вынужденные колебания и автоколебания.
Но сначала посмотрим на другие графики и убедимся, что ничего качественно нового на них не видно.
На втором графике также показана фазовая траектория валютной пары EUR/USD построенной по месячным данным за 11 лет с 2000 по 2010 включительно по 132 точкам. Отличие состоит в том, что здесь вместо скорости по вертикальной оси отложено произведение скорости на объем торгов (с непринципиальной нормировкой на 1 миллион). Почему именно эта величина является аналогом импульса? Или по другому, почему объем торгов является мерой инертности, то есть фактически аналогом массы? Этот вопрос мы рассмотрим в следующий раз.
Как видите, импульсы системы со временем нарастают. Это связано исключительно с ростом объемов. (Я надеюсь, Вы помните, что евро по отношению к доллару за эти 11 лет сначала рос, а потом немного упал.) Если бы мы имели дело со строго периодической системой, то внутренняя площадь ограниченная замкнутой траекторией в фазовом пространстве является действием. В нашем случае нет строго периодических колебаний, поэтому действие меняется при каждом колебании валютной пары. Но на этом графике хорошо видно, что в среднем растут площади ограниченные фазовой кривой до очередногопересечения. Значит действие системы постоянно нарастает и рост действия связан с увеличением инертных свойств на рынке валютной пары.
Следующие два графика показывают фазовые траектории через скорости и импульсы соответственно той же самой валютной пары EUR/USD для дневных данных. Всего взято 2344 точки (2344 биржевых дня) за период с 01.01.2002 по 31.12.2010, то есть за девять лет.
Для импульса введена несущественная для качественного рассмотрения нормировка на 1000.
Точки на двух первых графиках можно рассматривать как отображения Пуанкаре с периодом 1 месяц по отношению к дневным графикам фазовой траектории на третьем и четвертом графиках.
В заключение мы приведем здесь еще несколько графиков фазовой траектории валютной пары EUR/USD построенных на основе дневных данных. Первые три графика ниже это, соответственно, январь, февраль и март 2010 года. Последняя точка первого графика совпадает с первой точной второго графика, а последняя точка второго графика совпадает с первой точной третьего.
А это общий дневной график фазовой траектории валютной пары EUR/USD за эти первые три месяца 2010 года.
Наконец, на десерт дневной график фазовой траектории валютной пары EUR/USD за 2010 год.
Все эти и другие графики Вы можете построить сами в программе MS Excel. Примеры, приведенные здесь можно увидеть скачав xls-файлы для месячных данных по паре EUR/USD и для дневных данных по паре EUR/USD. Все необходимые формулы там уже введены. При построении графика выделяете нужный диапазон данных, запускаете мастер диаграмм и выбираете в качестве типа диаграммы точечный тип. На вкладке "Ряд" выбираете нужные столбцы и исключаете ненужные.